[精编]上海市曹杨二中2018-2019高二上数学期末试卷(精品解析)

发布于:2021-05-14 22:56:50

2018-2019 学年曹二高二上期末数学试卷

2019.1

一、填空题:

1、在空间中,若直线 a 与 b 无公共点,则直线 a,b 的位值关系是________; 答案:*行或异面

2、若两个球的体积之比为 8:27,则这两个球的表面积之比为____;

答案:49

3、若正方体 ABCD ? A'B'C 'D' 中,异面直线 AC 和 BD' 所成角的大小为_____;
答案: ? 2
4、若圆柱的轴截面面积为 2,则其侧面积为___;

答案: 2?
5、正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,则其体积为_____;

答案: 16 3

6、若增广矩阵

? ? ?

a ?1

?1 a

1? 1??

对应的线性方程组为无穷多紹,则实数

a

的值为________;

答案:-1

7、有一列正方体,它们的棱长组成以 1 位首项, 1 为公比的等比数列,设它们的体积依次 2

为 V1,V2 ,

? ,Vn

,则 lim n??

V1

? V2

?

?Vn ? =__________;

答案: 8 7
8、已知 ?ABC ,用斜二测画法作它的直观图 ?A' B'C' ,若 ?A' B'C' 是斜边*行于 x ' 铀的等 腰直角三角形,则 ?ABC 是________三角形(填“锐角”、“直角”、“钝角”). 答案:直角

9、在北纬 45°圈上有甲、乙两地,它们的经度差 90°,则甲乙两地的球面距离与地球半径 的比值为________;

答案: ? 3

10、如图,求一个棱长为 2 的正四面体的体积,可以看成一个棱长为 1 的正方体截去四个 角后得到,类比这种方法,一个相对棱长都相等的四面体 ABCD ,其三组对棱长分别为

AB ? CD ? 5, AD ? BC ? 13, AC ? BD ? 10 ,则此四面体的体积为_______;

答案:2 11、已知*面? 截一球面得圆 M ,过圆 M 的圆心 M 且与*面? 呈 45°二面角的*面 ? 截 该球面得圆 N ,若球的半径为 4,圆 M 的面积为 12? ,则圆 N 的面积为__________;
答案:14 ?
12、如图,棱长为 3 的正方体的顶点 A 在*面? 上,三条棱 AB, AC, AD 都在*面? 的同侧,
如顶点 B,C 到*面? 的距离分别为1, 2 ,则顶点 D 到*面? 的距离为___________;

答案: 6

二、选择题

13、“直线 l 垂直于 ?ABC 的边 AB, AC ’’是“直线 l 垂直于 ?ABC 的边 BC ”的()

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

答案:A

14、如果三棱锥 S ? ABC 的底面不是等比三角形,网组对棱互相垂直,且顶点 S 在底面的射 影 O 在 ?ABC 内,那么 O 是 ?ABC 的()

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

答案:B

15、底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥()

A、一点时增三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥

答案:D

16、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P (异于点 B )是棱长一点,则满足 BP 与 AC1 ,所 成的角为 45°的点 P 的个数为()

A.

0

B.3 C.4 D.6

答案:B

三、解答题:

17、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 DD1 的中点.

(1)求三棱锥 D ? A1BE 的体积; (2)求异面直线 BE 与 CC1 所成角大小.

解:(1)因为VD? A1BE

? VB? A1DE , S

A1DE

?

1a 2

a 2

?

a2 4

,并且 AB ? *面A1DE ,

所以VD? A1BE

?

1a?S 3

A1DE

?

1 a a2 34

? a3 12

(2)因为 CC1 / / DD1 ,所以异面直线 BE 与 CC1 所成角为直线 BE 与直线 DD1

所成角,即 ?BED,因为 BE ? a , BD ? a2 ? a2 ? 2a ,所以 2

a

BE ? 2a2 ? a2 ? 3a ,所以 COS?BED ? 2 ? 1 ,所以

42

3a 3

2

?BED

?

arccos(

1) 3

,所以异面直线

BE



CC1

所成角为

arccos(

1) 3

.

18、如图,某甜品创作一种冰淇淋,其*氩糠殖拾肭蛐危掳氩糠殖试沧缎危职寻刖段

10cm的圆形蛋皮等分成 5 个扇形,用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)。

(1)这种蛋筒的表面积;

(2)若要制作 500 个这样的蛋筒,需要多少升冰淇淋?(精确到 0.1L)

解:(1)由题意可知圆锥的母线 l

? 10 ,所以 S侧=? rl

?

1?l2 5

?

20?

并且 r ? 2 ,所以 S半圆=2? r2 ? 8? ,所以 S表 =S侧 +S半圆 =20? +8? =28?

(2)由(1)知圆锥的高度为 h ? l2 ? r2 ? 4 6 ,所以该蛋筒冰淇淋

的体积为V1

?

1?r2h ? 1 ? 4 ?r2

3

23

? 16 6? 3

? 16? 3

? 57.8

所以V ? 500V1 ? 500 ?57.8 ? 28900cm3 ? 29.0L

19、如图,已知 O 为四面体 A1A2 A3 A4 内一点,且满足:点 O 与四面体任一顶点的连线均垂

直其余三个顶点所确定的*面,设 OAi ? ai ?i ? 1, 2,3, 4? .

(1)求证: a1 ? a2 ? a1 ? a3 ; (2)若 OA1 ?OA 2 ?OA 3 ?OA 4 ,求证: A1A2 A3 A4 ,为正四面体,并求直线 OA2 与*面 A2 A3 A4 所成角的大小.

解:(1)要证 a1 ? a2 ? a1 ? a3 ,即证 a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? 0 , a1 ? (a2 ? a3 ) ? 0 ,

即证 OA1 ? A3 A2 ? 0 .因为 OA1 垂直*面 A2 A3 A4 , A3 A2 ? *面A2 A3 A4 ,

所以 OA1 ? A3 A2 ,故等式得证.

(2)根据(1)的证明可证 a2 ? a3 ? a2 ? a4 ,即 OA O2A 3 cos AO?A2 O3A O?A 2 4 AOcoAs 2? 4



因为 OA1 ? OA2 ? OA3 ? OA4 ,所以 cos ?A2OA3 ? cos ?A2OA4 ,所以 OA2 A3 ? OA2 A4 ,

所 以 A2 A3 ? A2 A.4 同 理 可 得 A3 A2 ? A3 A4. 所 以 底 边 是 等 边 三 角 形 . 同 理 可 得

A1 A2 ? A1 A3? A1 A?4 A3,A即4 四面体的每条棱都相等,所以 A1A2 A3 A4 为正四面体.

设 A1 A2 ? 2 ,延长 A1O 交*面 A2 A3 A4 于 H 点,所以 ?OA2H 即为直线 OA2 与*面 A2 A3 A4 所 成的角.连接 A2H 与 A3 A4 交于 E 点,因为 A1A2 A3 A4 为正四面体,所以 A3E ? 1 ,所以

A2E ?

3

,进而

A2 H

?

23 3

,所以

A1H

?

A1 A22

?

A2 H 2

?

26 3

,在 Rt

OA2H 中,

2

2

? ???

2

6 3

?

OH

? ???

?

OH

2

?

? ???

2

3 3

? ???

, 解 得 OH ?

6 6

,所以

OA2 ?

6 2

,所以

sin(?OA2H )

?

OH OA2

?

1 3

,所以

?OA2

H

?

arcsin(

1 3

)

,即直线

OA2

与*面

A2

A3

A4

所成角的

大小为 arcsin(1) . 3

20 、 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 侧 棱 AA1 垂 直 于 底 面

A B C, D? A B, A? C1 , A ?B1 点.

?A 2C , ?A A,且?点 AM5 和D 点 NC分D别为 B1C 和 DD1 的中

(1)求证: MN //*面 ABCD ;

(2)求二面角 D1 ? AC ? B 的大小;

(3)设

E

为棱

A1B1

上的点,若直线

NE

和*面

ABCD

所成角的正弦值为

1 3

,求线段

A1E



长度.

解:以 A 为原点,AC,AB,AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,依题意可 B?0,1, 0? 得,A?0,0,0? ,B?0,1,0?,C ?2,0,0? ,D?1,?2,0? ,A1 ?0,0, 2? ,B1 ?0,1,2? ,D1 ?1,?2,2? ,

又因为

M,N

分别为

B1C



D1D

的中点,得

M

???1,

1 2

,1???



N

?1,

?2,1?

(1)

证明:依题意可得, n ? ?0, 0,1? 为*面 ABCD 的一个法向量.

MN

?

? ??

0,

?

5 2

,

0

? ??

由此可得 MN n ? 0 ,又因为直线 MN ? *面ABCD ,所以 MN / /*面ABCD

(2) AD1 ? ?1, ?2, 2? , AC ? ?2,0,0? ,设 n1 ? ? x, y, z? 为*面 ACB1的法向量,

则 ???n1 ?? n1

AD1 AC

?0 ?0

,即

? ?

x

?

? 2y ? 2z 2x ? 0

?

0 .不妨设

z

?1,可得 n1

?

?0,1,1? .*面

ABC

的法

向量为 n ? ?0,0,1? ,所以有 cos

n1, n

? n1 n ? n1 n

2 2

,由图可知二面角

D1

?

AC

?

B



大小为 3? . 4

(2) 依题意可设 A1E ? ? A1B1 ,期中 ? ?[0,1] ,则 E ?0,?, 2? ,从而

NE ? ??1,? ? 2,1? .又因为 n ? ?0,0,1? 为*面 ABCD的一个法向量,由已知

cos NE, n ? NE n ?

1

? 1 ,整理得 ?2 ? 4? ? 3 ? 0 ,

NE n (?1)2 ? (? ? 2)2 ?12 3

又因为 ? ?[0,1] ,解得 ? ? 7 ? 2 .所以线段 A1E 的长度为 7 ? 2 .

21、如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等,那么我们称它们是一对:“等积四棱圆柱”.

将“等积四棱圆柱”的正四棱柱,圆柱的表面积与高分别记为 S1, S2 与 h1, h2 . (1)若 h1 ? h2 ? 1, S1 ? 16 ,求 S2 的值.

(2)若 h1 ? h2 ,求证: S1 ? S2 ;

(3)求实数 ? 的取值范围,使得存在一对“等积四棱圆柱”,满足 S1

? S2 与

h1 h2

??

解:(1)设正四棱柱的底面边长为 a ,圆柱底面半径为 r ,则 a2h1 ? ? r 2h2 ,

S1 ? 2a2 ? 4ah1 , S2 ? 2? r2 ? 2? rh2 ,因为 h1 ? h2 ? 1, S1 ? 16 ,所以 2a2 ? 4a ? 16 ,解

得 a ? 2 ,所以? r2 1 ? 4 1,即 r ?

2 ?

.所以 S2

? 2?

4 ?

? 2?

2 1?8?4 ? ?

(2)证明:因为 h1 ? h2 ,所以 a2 ? ? r2

? ? , S1 ? S2 ? 2a2 ? 4ah1 ? 2? r2 ? 2? rh2 ? 4ah1 ? 2? rh1
? ? ? 2h1r 4? ?? ? 0 . 所以 S1 ? S2 .

(3)因为

h2 h1

??

,得 h2

? ?h1 ,则 a2

?

?? r2, a

?

?? r ,

又因为 S1 ? S2 ,所以 ?? ?1?? r ? ??h1 ? 2 ??h1 ,

? ? r ? ?? ? 2 ??h1 ,因为 r ? 0 ,所以 ?? ? 2 ? 0 ,得

?? ?1??

? ?1

?? ?

? ?1

或者

?? ?

??0

,解得: ? ? ?0,1?

?? ?? ? 2 ?? ?? ? 2

? ??

4 ?

,

??

? ??


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