数学建模暑假培训讲座精品文档

发布于:2021-09-25 17:06:43

2019年数学建模暑假培训讲座

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浅谈数学建模
一、对数学建模竞赛的认识 二、 数学建模实践活动 三、 对大学生科技能力的培养

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一、对数学建模竞赛的认识

1、作题与一般的培训 ◇ 作题 利用已有知识可以解决,与知识及知识量有关,其过程有利于
掌握知识。作题有一个可以作的潜在假设。 ◇ 培训 增加知识,以知识为基础解题,基本是老师主导。
2、作事与实践 ◇ 作事 对象是问题,以自身知识和能力为基础,其过程是锻炼和发挥 综合素质。 ◇ 实践 作事的过程可称为实践。对问题,只能说依其能力和知识可以给
予一定程度的解决,不保证已有知识够用。 3、数模竞赛与实践
数模竞赛是一个实践过程,不是解题过程。

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二、数学建模实践活动

1、投入与效益 ◇ 投入 以老师和同学都要投入大量的时间和精力为前提。 ◇ 效益 投入的效益不单纯体现在知识的程度上,主要体现在使学生有作 科研的经历,使教师有机会提高学术水*,真正做到教学相长。
2、选择实践活动内容的原则 ◇ 学术的先进性 文献要新 ◇ 大学生的可接受性 思想性强,所用研究技术相对初等 ◇ 有较大的提问题空间 开放性选题,不是小品类选题

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二、数学建模实践活动
3、选题过程中常遇到的困境和解决思路
◇ 学术先进性与学生的知识及技术水*的可承受性.以学生的已有知识 和应具有的能力为基础。
◇ 教师所从事专业与所选课题内容的一致性,若一致更好,若不一致, 以学生的可接受性为基础,把相应研究首先看成教学成果其次为科研 成果,接受成果所属分类分散的事实。
◇ 学生所学专业与所选内容的一致性 不以专业知识作为选题依据,不引导其作专业研究,而是提供一个
作科学研究的机会。 ◇ 教师的知识面宽度与选题内容的丰富度的关系
显然,知识面宽时丰富度就宽,这是以教师掌握为前提的,其次, 很多时候教师要以阅历为前提判断一个选题的水*及可接受性,然后 和同学一起学*课题内容,做到教学相长。

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二、数学建模实践活动

? 目标: ? 1、数学建模培养的是意识与理念; ? 2、数学建模活动不仅仅是一个简单的培训、
竞赛活动。----可以看做是知识积累的过程。 ? (1)大学生创新计划、暑期班; ? (2)发表学术论文; ? (3)参加其他的竞赛活动; ? (4)敢想敢做的态度。

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数据处理与数据建模方法

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数据处理与数据建模方法
? 21世纪的社会是信息社会,其影响最终将 要比十九世纪由农业社会转向工业社会更 加深刻。
? “一个国家总的信息流的*均增长与工业 潜力的*方成正比”。
? 信息资源与自然资源和物质资源被称为人 类生存与发展的三大资源。

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数据处理与数据建模方法

实际中大量信息或海量信息对应着大量 的数据或海量数据,从这些数据中寻求所 需要的问题答案--数据建模问题。
通过实际对象过去或当前的相关信息, 研究两个方面问题:
(1)分析研究实际对象所处的状态和 特征,依此做出评价和决策;
(2)分析预测实际对象未来的变化状 况和趋势,为科学决策提供依据。

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数据处理与数据建模方法

1. 数据建模的一般问题 2. 数据处理的一般方法 3. 数据建模的综合评价方法

4. 数据建模的动态加权方法 5. 数据建模的综合排序方法 6. 数据建模的预测方法

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一、数据建模的一般问题 数据建模一般问题的提出一:般
?实际对象都客观存在着一些反映其特征的相 关数据信息; ?如何综合利用这些数据信息对实际对象的现 状做出综合评价,或预测未来的发展趋势, 制定科学的决策方案? --数据建模的综合评价、综合排序、预测与 决策等问题。

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一、数据建模的一般问题

? 综合评价是科学、合理决策的前提。 ? 综合评价的基础是信息的综合利用。 ? 综合评价的过程是数据建模的过程。 ? 数据建模的基础是数据的标准化处理。
如何构成一个综合评价问题呢?

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一、数据建模的一般问题

综合评价:

依据相关信息对实际对象所进行的客观、 公正、合理的全面评价。

如果把被评价对象视为系统,则问题: 在若干个(同类)系统中,如何确定哪个系 统的运行(或发展)状况好,哪个状况差?即哪 个优,哪个劣?

一类多属性(指标)的综合评价问题。

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综合评价问题的五个要素

(1)被评价对象:被评价者,统称为评价系统。
(2)评价指标:反映被评价对象的基本要素, 一起构成评价指标体系。原则:系统性、科学性、可 比性、可测性和独立性。
(3)权重系数:反映各指标之间影响程度大小 的度量。
(4)综合评价模型:将评价指标与权重系数综 合成一个整体指标的模型。
(5)评价者:直接参与评价的人。

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综合评价过程的流程

明任 确务
对s1, s2,?, sn
进行综合评价

明目 确的
排序或 分类 ?

确定评 确定指标 价指标 初始值

指预 标处 的理
规范化指标
x1, x2,?, xm

确系 定数 权
权重系数
w1,w2,?,wm

选价 择模 评型
综合评价指
标y? f(x,w)

计算综合 评价指标

依指标 y1, y2,?, yn 对 s1, s2,?, sn 排序或分类

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二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法

一般问题的数据指标 x1, x2, , xm (m ? 1) 可能有
“极大型”、“极小型”、“中间型”和“区间型”指标。

极大型:期望取值越大越好; 极小型:期望取值越小越好; 中间型:期望取值为适当的中间值最好; 区间型:期望取值落在某一个确定的区间 内为最好。
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什么是一 致化处理? 为什么要 一致化?
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二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法

(1)极小型: 对某个极小型数据指标 x ,

则 x? ? 1 (x ? 0) ,或 x? ? M ? x . x

(2)中间型: 对某个中间型数据指标 x ,则

x?

?

? ? ? ?

2(x ? m) , M ?m 2(M ? x) ,

m ? x ? 1 (M ? m) 2
1 (M ? m) ? x ? M

? M ?m 2

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二、数据处理的一般方法

1. 数据类型的一致化处理方法

(3)区间型:对某个区间型数据指标 x ,则

x?

?

????11,?

a

? c

x

,

x?a a? x?b

???1 ?

x

?b c

,

x?b

其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间,c ? max{a ? m, M ? b} , M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。

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二、数据处理的一般方法

2. 数据指标的无量纲化处理方法

在实际数据指标之间,往往存在着不可公度性,

会出现“大数吃小数”的错误,导致结果的不合理。

(1)标准差法: xi?j

?

xij ? x j sj

(2)极值差法:xi?j

?

xij ? m j M j ? mj

(3)功效系数法:xi?j

?c?

xij ?mj Mj ?mj

?d

? 1 n
x j ? n i?1 xij

? s j

?[1 n

n i ?1

( xij

?

xj )2]12

M

j

?

max{
1?i ? n

xij

}

xi?j ? [0,1] (i? 1 ,2 , ,n ;j? 1 ,2 , ,m ) m j

?

min{
1?i ? n

xij

}

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二、数据处理的一般方法
3. 模糊指标的量化处理方法
在实际中,很多问题都涉及到定性,或模 糊指标的定量处理问题。
诸如:教学质量、科研水*、工作政绩、 人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识 、观念、能力等因素有关的政治、社会、人 文等领域的问题。
如何对有关问题给出定量分析呢?

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二、数据处理的一般方法
3. 定性指标的量化处理方法
按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级,如A,B,C,D,E。
如何将其量化?若A-,B+,C-,D+等又 如何合理量化?
根据实际问题,构造模糊隶属函数的量化 方法是一种可行有效的方法。

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二、数据处理的一般方法

假设有多个评价人对某项因*兰畚狝,B,C, D,E共5个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。
譬如:评价人对某事件“满意度”的评价可分为 {很满意,满意,较满意,不太满意,很不满意} 将其5个等级依次对应为5,4,3,2,1。 这里为连续量化,取偏大型柯西分布和对数函数 作为隶属函数:

?[1 ? ? (x ? ? )?2 ]?1,1 ? x ? 3
f (x) ? ? ?a ln x ? b , 3 ? x ? 5
其中?, ? , a,b 为待定常数.

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二、数据处理的一般方法

3. 定性指标的量化处理方法

当“很满意”时,则隶属度为1,即 f (5) ? 1 ;
当“较满意”时,则隶属度为 0.8,即 f (3) ? 0.8;
当“很不满意”时,则隶属度为 0.01,即 f (1) ? 0.01.

计算得? ? 1.1086, ? ? 0.8942, a ? 0.3915, b ? 0.3699。

? ? 则

f

(

x)
f

?( x?????)01?.?3??91[11.1?50l?n8(6xx(?x??0?.03) .?6829]9?941 ,21),??2

?1,1 ? x ? 3 x ?3 ? x?5

?a ln x ? b , 3 ? x ? 5

其中?, ? , a,b 为待定常数.

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二、数据处理的一般方法

3. 定性指标的量化处理方法

? ? f

(

x)

?

?? ?

1

?

1.1086(

x

?

0.8942)

?2

?1 ,1 ? x ? 3

??0.3915ln x ? 0.3699 ,

3? x?5

根据这个规律, 对于任何一个评价值, 都可给出一个合适的 量化值。
据实际情况可构 造其他的隶属函数。 如取偏大型正态分布。

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模糊定性指标量化的应用案例

(1)CUMCM2019-A,C:SARS的传播问题

(2)CUMCM2019-D:公务员招聘问题;

(3)CUMCM2019-B:DVD租赁问题;

(4)CUMCM2019-B:高教学费标准探讨问题 ;

(5)CUMCM2019-D:NBA赛程的分析与评价 问题;

(6)CUMCM2009-D:会议筹备问题。

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三、数据建模的综合评价方法

1. 线性加权综合法
m
? 用线性加权函数 y ? wj x j 作为综合评价模型, j ?1
对 n 个系统进行综合评价。
适用条件:各评价指标之间相互独立。 对不完全独立的情况,其结果将导致各指标间信 息的重复,使评价结果不能客观地反映实际。
主要特点: (1)各评价指标间作用得到线性补偿; (2)权重系数的对评价结果的影响明显。

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三、数据建模的综合评价方法

2. 非线性加权综合法

m

? 用非线性函数 y ?

xwj j

作为综合评价模型,对 n

j ?1

个系统进行综合评价。其中 w j 为权系数,且要求 x j ? 1 。

适用条件:各指标间有较强关联性。

主要特点: (1)突出了各指标值的一致性,即*衡评价指标值 较小的指标影响的作用; (2)权重系数大小的影响不是特别明显,而对指标 值的大小差异相对较敏感。

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三、数据建模的综合评价方法

3. *硐氲悖═OPSIS)方法

设定系统指标的一个理想点

( x1*

,

x

* 2

,?,

x

* m

)

,将

每一个被评价对象与理想点进行比较。

如果某一个被评价对象指标 (xi1, xi2 ,?, xim ) 在某种意义

下与

(

x1*

,

x2*

,?,

x

* m

)

最接*,则被评价对象

(

xi1

,

xi2

,?,

xim

)

为最好的。

基于这种思想的综合评价方法称为*硐氲愕呐判蚍椒 (The technique for order preference by similarity to ideal solution,简称为 TOPSIS)。

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三、数据建模的综合评价方法

3. *硐氲悖═OPSIS)方法

假设理想点为

(x1* ,

x

* 2

,?,

xm* )

,对于被评价对象

(xi1, xi2 ,?, xim ) ,则定义二者之间的加权距离:

m

? yi ?

w

j

f

( xij

x

* j

), i

?

1,2,?,

n



j ?1

其中 w j 为权系数,f (xij , x*j ) 为 xij 与 x*j 之间的某种意义
下距离。

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三、数据建模的综合评价方法

3. *硐氲悖═OPSIS)方法

通常可取 f (xij , x*j ) ? (xij ? x*j )2 ,则综合评价函数为

m

? yi ?

wj

( xij

?

x

* j

)

2

,

i

? 1,2,?, n



j ?1

按照 yi (i ? 1,2,?, n) 值的大小对各被评价方案进行排
序选优,其值越小方案就越好。

特别地,当某个 yi ? 0 时,则对应的方案就是最优的。

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综合评价方法的应用案例

(1)CUMCM1993-B:足球队排名问题;

(2)CUMCM2019-B:公交车调度问题;

(3)CUMCM2019-B:彩票中的数学问题;

(4)CUMCM2019-D:公务员招聘问题;

(5)CUMCM2019-A:长江水质的评价和预测问题



(6)CUMCM2019-C:雨量预报方法评价问题;

(7)CUMCM2019-B:艾滋病疗法评价与预测问题



(8)CUMCM2019-C:手机“套餐”优惠几何问题



(9)CUMCM2019-B:高教学费标准探讨问题;

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四、数据建模的动态加权综合方法

1. 动态加权问题的一般提法

设有 n 个被评价对象(或系统) S1, S2, , Sn (n ? 1) ,每个 系统都有 m 属性(或评价指标) x1, x2, , xm (m ? 1) 。

对每一个 xi 都可分为 K 个等级 p1, p2, , pK (K ? 1) 。

而 对 每 一 个 pk 都 包 含 一 个 [ak(i) , bk(i) )





a(i) k

? bk(i)

(i ?1, 2,

, m;k ?1, 2,

,

K)

,即当

xi

?[ak(i)

,

b(i) k

)

时,则

xi



于第 k 类 pk (1 ? k ? K) 。

问题:如何对n个系统做出综合评价呢?

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四、数据建模的动态加权方法
1. 动态加权问题的一般提法
注意: 问题对于每一个属性而言,既有 不同类别的差异,同类别的又有不同量值 的差异。
对于既有“质差”,又有“量差”的 问题,合理有效的方法是动态加权综合评 价方法。

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四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定

(1) 分段变幂函数

1

wi (x) ? x k ,

x

?[ak(i

)

,

b(i) k

]



(k ? 1, 2, , K )

其中1? i ? m 。

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四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
(2)偏大型正态分布函数

wi

(

x)

?

??0 ? ??1?

,
? ??
e?

x??i ?i

?2 ? ?

,

当 x ? ?i时, 当 x ? ?i时,

其中参数? i 可取[a1(i) , b1(i) ) 中的某
定值。

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四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定

(3)S 型分布函数

wi

(x)

?

?? ???2 ?? ???1 ?

x ? a1(i)

b(i) K

?

a(i) 1

?2 ? ?

, a1(i)

?

x

?

c,

? 2?
?

x ? bK(i)

b(i) K

?

a(i) 1

2
? ? ?

,c

?

x

?

b(i) K

,

其中参数

c

?

1 2

(a1(i)

?

b(i) K

),

且wi

(c)

?

0.5



(1 ? i ? m)

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四、数据建模的动态加权方法
3. 动态加权的综合评价模型
根据标准化后的指标值,仍用 xi 表示,相应动态
m
? 权函数 wi (x)(i ? 1, 2, , m) ,则 X ? wi (xi ) ? xi 。 i ?1
若每个系统的 m 个属性都 N 组样本观测值 {xij} ,则每一个系统 都有 N 个综合评价指标值 X k ( j) (k ? 1, 2, , n; j ? 1, 2, , N) 。按其大小排 序可给出 n 个系统的 N 个排序方案。

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五、数据建模的综合排序方法

1. 综合排序问题的一般提法
设有 n 个系统 S1, S2, , Sn (n ? 1) ,每个系统都有 m 属性 x1, x2 , , xm (m ? 1) 。相应的都有 N 组本观测值为 {xij}(1 ? i ? m;1 ? j ? N ) 。
如果按照某种方法由每一组样本都可以给出 n 个系 统 S1, S2, , Sn (n ? 1) 的一个排序,则共有 N 个不同的排
序结果。
问题:如何给出n个系统的最终排序结果呢?

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五、数据建模的综合排序方法
2. 综合排序问题的方法
Borda 函数方法:在第 j 个排序方案中排在第 k 个 系统 Sk 后面的个数为 B j (Sk ) ,则系统 Sk 的 Borda 数为
N
? B(Sk ) ? Bj (Sk ) (k ? 1, 2, , n) j ?1
按其大小排序,可得到 n 个系统的综合排序结果,即总
排序结果。

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动态加权与综合排序的应用案例

动态加权的综合排序案例:

(1)CUMCM2019-B:彩票中的数学问题;

(2)CUMCM2019-A:长江水质的评价和预测问题 ;

综合评价的排序案例:

(1)CUMCM1993-B:足球队排名问题;

( 2 ) CUMCM2019-D:NBA 赛 程 的 分 析 与 评 价 问 题;

(3)CUMCM2009-D:会议筹备问题。

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六、数据建模的常用预测方法
1.插值与拟合方法:小样本内部预测; 应用案例:
(1)CUMCM2019-A:血管的三维重建问题; (2)CUMCM2019-A,C:SARS的传播问题; (3)CUMCM2019-C:饮酒驾车问题; (4) CUMCM2019-A:长江水质的评价与预测; (5) CUMCM2019-D:雨量预报方法的评价; (6) CUMCM2019-B:艾滋病疗法的评价与预测。

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六、数据建模的常用预测方法

2.回归模型方法:大样本的内部预测; 应用案例:
(1)CUMCM2019-A:奥运临时超市网点设计; (2)CUMCM2019-B:电力市场的输电阻塞管理; (3)CUMCM2019-A:长江水质的评价与预测; (4)CUMCM2019-B:艾滋病疗法的评价与预测; (5)CUMCM2019-B:高教学费标准探讨问题。

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六、数据建模的常用预测方法
3.灰预测GM(1,1):小样本的未来预测; (1)CUMCM2019-A:SARS的传播问题; (2)CUMCM2019-A:长江水质的评价与预测; (3)CUMCM2019-B:艾滋病疗法的评价与预测; (4)CUMCM2019-B:高教学费标准探讨问题。
4.时间序列方法:大样本的随机因素或周期特征的 未来预测;
(1)CUMCM2019-A:SARS的传播问题; (2)CUMCM2019-A:长江水质的评价与预测; (3)CUMCM2019-B:艾滋病疗法的评价与预测。
5.神经网络方法:大样的未来预测.

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谢谢大家

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