2010年高考试题——数学文(新课标卷)

发布于:2021-05-14 23:10:09

绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
参考公式: 样本数据 x1 , x2 L xn 的标准差 锥体体积公式

s =

1 ? (x ? x )2 + (x 2 ? x )2 + L + (x n ? x )2 ? ? 1 ? n

V =

1 sh 3

其中 x 为样本*均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积,体积公式

V = Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

3 S = 4π R 2 , V = π R 3 4
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 A = {x || x ≤ 2, x ∈ R}, B = {x |

x ≤ 4, x ∈ Z } ,则 A I B =

(A) (0,2) (B)[0,2] (C)|0,2| (D){0,1,2} (2)a,b 为*面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的余弦值等于 (A)

8 65

(B) ?

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

(3)已知复数 z =

3 +i ,则|z|= (1 ? 3i ) 2
(B)

(A)

1 4

1 2

(C)1

(D)2

(4)曲线 y = x 3 ? 2 x + 1 在点(1,0)处的切线方程为 (A) y = x ? 1 (B) y = ? x + 1

(C) y = 2 x ? 2

(D) y = ?2 x + 2

(5)中心在远点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐*线经过点(4,-2) ,则它的离心率为 (A) 6 (B) 5

(C)

6 2

(D)

5 2

(6)如图,质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位 ,角速度为 1,那么点 p 到 x 轴距离 置为 p0 ( 2 , ? 2 ) \ d 关于时间 t 的函数图像大致为

(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (A)3 π a2 (B)6 π a2 (C)12 π a2 (D) 24 π a2 (8)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于

(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ≥ 0) , 则 x f ( x ? 2) > 0 =

5 4 4 (B) 5 6 (C) 5 5 (D) 6
(A)

{

}

(A) x x < ?2或x > 4 (C) x x < 0或x > 6

{

}

(B) x x < 0或x > 4

{

} }

{

}

(D) x x < ?2或x > 2

{

(10)若 sin a = -

4 π ,a 是第一象限的角,则 sin( a + ) = 5 4
(B)

(A)-

7 2 10

7 2 10

(C) -

2 10

(D)

2 10

(11) 已知 ABCD 的三个顶点为 A (-1, , (3, , (4, , (x, 在 2) B 4) C -2) 点 y) ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20)

? lg x1 ,0< x≤10 ? (12)已知函数 f(x)= ? 1 x + 6, x > 0 ? 2
则 abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6)

若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= f(b)= f(c) ,

(C) (10,12)

(D) (20,24)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)圆心在原点上与直线 x + y ? 2 = 0 相切的圆的方程为-----------。 (14)设函数 y = f ( x) 为区间 ( 0,1] 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 , 可以用随机模拟方法计算由曲线 y = f ( x) 及直线 x = 0 , x = 1 , y = 0 所围成部分的面 积 S, 先产生两组(每组 N 个)区间 ( 0,1] 上的均匀随机数 x1 , x 2 ,L , x N 和 y1 , y 2 L y N , 由此得到 N 个点 ( xi , y i )(i ? 1,2......N ) 。再数出其中满足 yi ≤ f ( xi )(i = 1,2......N ) 的点 数 Ni,那么由随机模拟方法可得 S 的*似值为___________

(15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填 入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 ( 16 ) 在

ABC 中 , D 为 BC 边 上 一 点 , BC = 3BD , AD = 2 , ∠ADB = 135ο . 若

AC = 2 AB ,则 BD=_____
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 满足 a3 = 5 , a10 = ?9 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 {an } 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。 (18) (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ⊥ BD ,垂足为 H , PH 是四棱锥的高。

(Ⅰ)证明:*面 PAC ⊥ *面 PBD ; (Ⅱ)若 AB =

6 , ∠APB = ∠ADB = 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体积。

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 、 、 分。作答时用 2B 铅笔在答题卡*阉√饽康奶夂磐亢凇 (19) (本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中,需要志 愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由。 附:

(20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +
2

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相 b2

交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。

(21)本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = x e x ? 1 ? ax 2 (Ⅰ)若 a=

(

)

1 ,求 f( x ) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f( x ) ≥0,求 a 的取值范围

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图:已知圆上的弧 AC = BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (Ⅰ) ∠ACE = ∠BCD 。 (Ⅱ) BC =BE x CD。
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? (Ⅰ)当 α =

? x = 1 + t cos α . ? x = cos θ , (t 为参数) ,圆 C2 : ? ? y = t sin α , ? y = sin θ ,
时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

( θ 为参数) ,

π
3

(Ⅱ)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线;

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 ( x) = 2 x ? 4 + 1。



(Ⅰ)画出函数 y= ( x) 的图像: (Ⅱ)若不等式 ( x) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围





参考答案
一、选择题 1—6 DCBADC 7—12 BDBABC 二、填空题 13. x 2 + y 2 = 2 三、解答题 17.题: (I)由 a n = a1 + ( n ? 1) d及a3 = 5, a10 = ?9 得 14.

N1 N

15.①②③⑤

16. 2 + 5

?a1 + 2d = 5, ? ?a1 + 9d = ?9.
可解得 ?

?a1 = 9, ?d = ?2.

数列 {a n } 的通项公式为 a n = 11 ? 2n. (II)由(I)知 S n = na1 + 因为 S n = ?(n ? 5) + 25,
2

n(n ? 1) d = 10n ? n 2 . 2

所以当 n=5 时, S n 取得最大值. 18.解: (I)因为 PH 是四棱锥 P—ABCD 的高, 所以 AC⊥PH。又 AC⊥BD,PH,BD 都在*面 PBD 内,且 PH∩BD=H, 所以 AC⊥*面 PBD。 故*面 PAC⊥*面 PBD。 (II)因为 ABCD 是等腰梯形,AB//CD,AC⊥BD, AB = 所以 HA=HB= 3 因为 ∠APB = ∠ADB = 60° , 、 所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1, 可得 PH =

6,

3. 1 AC × BD = 2 + 3. 2

等腰梯形 ABCD 的面积为 S = 所以四棱锥的体积为 V =

1 3+ 2 3 × (2 + 3 ) × 3 = . 3 3

19.解: (I)调查的 500 位老年人中有 70 位封面 要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中, 需要帮助的老年人的比例的估计值为

70 = 14%. 500

(II) K =
2

500 × (40 × 270 ? 30 × 160) 2 ≈ 9.967. 200 × 300 × 70 × 430

由于 9.967 > 6.635, 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看

出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确 定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采 用简单随机抽样方法更好。 20.解: (I)由椭圆定义知 | AF2 | + | AB | + | BF2 |= 4, 又 2 | AB |=| AF2 | + | BF2 |, 得 | AB |=

4 . 3
2

(II) l 的方程为 y = x + c, 其中c = 1 ? b . 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 A,B 两点坐标满足方程组

? y = x + c, ? ? 2 y2 ? x + 2 = 1. b ?
化简得 (1 + b 2 ) x 2 + 2cx + 1 ? 2b 2 = 0. 则 x1 + x 2 =

? 2c 1 ? 2b 2 . , x1 x 2 = 1+ b2 1+ b2
2 | x 2 ? x1 | ,

因为直线 AB 的斜率为 1,所以 | AB |= 即

4 = 2 | x 2 ? x1 | . 3 8 4(1 ? b 2 ) 4(1 ? 2b 2 ) 8b 4 = ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 22 = ? = , 9 (1 + b 2 ) 2 1 + b2 (1 + b 2 ) 2



解得 b = 21.解: (I) a =

2 . 2 1 1 时, f ( x) = x(e x ? 1) ? x 2 , 2 2

f ′( x) = e x ? 1 + xe x ? x = (e x ? 1)( x + 1).

当x ∈ (?∞,?1)时, f ′( x) > 0;当x ∈ (?1,0)时, f ′( x) < 0;当x ∈ (0,+∞)时, f ′( x) > 0. 故f ( x)在(?∞,?1), (0,+∞)单调增加, 在(?1,0)单调减少.
(II) f ( x) = x(e ? 1 ? ax).
x

令 g ( x) = e ? 1 ? ax, 则g ′( x) = e ? a.
x x

若 a ≤ 1, 则当x ∈ (0,+∞)时, g ′( x) > 0, g ( x)为增函数, 而g (0) = 0, 从而当x ≥ 0时

g ( x) ≥ 0,即f ( x) ≥ 0.
若 a>1,则当 x ∈ (0, ln a )时, g ′( x) < 0, g ( x) 为减函数,而 g (0) = 0, 从而当 x ∈ (0, ln a )时g ( x) < 0, 即f ( x) < 0. 综合得 a 的取值范围为 (?∞,1]. 22.解: (I)因为 AC=BD,所以 ∠BCD = ∠ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C,故 ∠ACE = ∠ABC , 所以 ∠ACE = ∠BCD. (II)因为 ∠ECB = ∠CDB, ∠EBC = ∠BCD, 所以 ?BDC ∽ ?ECB, 故 即 BC = BE × CD.
2

BC CD = , BE BC

23.解: (I)当 α =

π
3

时,C1 的普通方程为 y =

3 ( x ? 1), C 2 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1.

联立方程组

? y = 3 ( x ? 1), 1 3 ? 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ( ,? , ). ? 2 2 2 2 ? x + y = 1, ?

(II)C1 的普通方程为 x sin α ? y cos α ? sin α = 0 . A 点坐标为 (sin 2 α ,? cos α sin α ),

1 2 ? ? x = 2 sin α , ? 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? (α 为参数). ? y = ? 1 sin α cos α , ? 2 ?
P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) + y =
2 2

1 4

1 1 1 , 故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0), 半径为 的圆. 16 4 4

24.解: (1)由于 f ( x ) = ?

?? 2 x + 5, x < 2, 则函数 y = f (x) 的图像如图所示. ?2 x ? 3, x ≥ 2,

(II)由函数 y = f (x) 与函数 y = ax 的图像可知,当且仅当 a ≥

1 或 a < ?2 时,函数 2

y = f (x) 与函数 y = ax 的图像有交点,故不等式 f ( x) ≤ ax 的解集非空时,a 的取值范
围为 ( ?∞,?2) U [ ,+∞).

1 2

高γ考(试∽题∽库 www.gkstk.com


相关推荐

最新更新

猜你喜欢